数学教学纲要应当集中精力学会将推理和证明作为理解数学的一部分，以便所有学生-

◆ 承认推理和证明是数学的本质和有力的部分；

◆ 提出和考察数学猜想；

◆ 发展和评价数学争论与证明；

◆ 选择和使用各种适当的推理形式和证明方法

说明:幼儿园前-12年级

　　数学推理和证明为发展和整理人们对广阔现象的认识提供强有力的方法。进行推理和分析性的思考的人们揭示了物体和系统的性质和结构。他们注重真实世界和符号世界的形式和规则；他们在追问哪些形式是偶然的，哪些事情是必然的；并且进行猜想和证明，最后，数学证明说明了推理和判断形式的正规整理。

　　上面描述的这种类型的系统推理是数学定义的一种特征，这在体现在所有的内容中。在各个年级，对严密性有不同的要求。例如，在数字和运算领域，1年级能够注意到数数时奇偶数交替出现；3年级能够猜想和判断两个偶数的和是偶数；6年级学生能够确定塞子落下时出现奇数还是偶数的可能性以及这些数字相乘的积的可能种数；10年级的学生希望利用各种方法证明一个奇数的平方总是1加上一个8的倍数。对于几何，低年级学生能够使用动手操作的方法确定新图形的面积。中等年级的学生能够拆开三角形的角来说明三角形内角和是平角。高中学生能够严密地证明这些性质。有规则的推理是数学的核心。

　　所有年级水平的学生能够投入(以适合年龄水平的方式)到这种系统的思考，猜想和整理证据(理由)中，这些证据和理由是正式数学推理的前身。当小学教师意识到他们班上的学生能够非常熟练地进行推理时，他们可以对所教的内容做戏剧性的处理(Thompson 1998)。学生到了初中应该能够提出解决一个问题的方案或系统地处理一些数学的问题，并且能够讲出为什么他们的想法是正确的。也就是Mason，Bueton，Stacey(1982)，描述为"说服自己，说服朋友，说服敌人。"

◆ 承认推理和证明是数学的本质和有力的部分；

　　数学有吸引力的部分原因是能够进行美妙的推理。学数学的学生应该明白这个。他们应该期望事情和谐且也应该期望明白事情之所以发生的原因。例如，思考下面的这个"魔块"问题，这可以在一本数学趣味书中找到：

写下你的年龄，
加上5，
用2乘以所得的数字，
再在这个数上加上10，
用5 去乘这个数，
告诉我所得结果，
我能说出你的年龄。

　　解决方案是"从最后得数中消去最后一个零，再减去10，得数就是这个人的年龄"。这个奇妙的"回答"回避了"问题是怎样解决的?"这个问题，这是个数学问题。所有年级的学生能够揭示和解释像下面这样的问题。例如，年级较小的学生能够对这个问题作出反映，"我正在思考一个数，他的2倍是22，问这个数是多少?"中等年级的学生能用推理和非正规的代数技巧说明上面这个"魔块"问题是有理的。

　　在2年级以前学生能够发现合理的推理的萌芽并理解他们所说的推理的重要性以及为什么你认为是正确的?"和"有人提出不同的回答吗?和为什么你这样认为"，这样的问题能够建立这样的期望:得到肯定的理由或反驳的证据。Resnick 和Manson (1984)的调查着重进行了加法推理的发展的特点的研究。当要求年龄较小的孩子回答"3+5"是多少时，比较典型地，他们通常放置两堆物体，一堆3个，一堆5个(也许是他们的手指头)，各自地，全部数出来"1，2，3，4，5，6，7，8，"。然而较大些的孩子认为数第一堆是没有必要的，他们将自觉地从4数起(一般没有教过)。这种做法是基于承认3+5=5+3，并且从较大的数字数起更有效。看到这种发展的老师能够提出这个论题:学生在做什么?为什么这样做是合理的?接下来的班级讨论能够巩固学生的理解；这也能够说明学生这样做的理由。

　　在所有各种水平中，类似的经验也很重要。在水平7，学生能够探索三角形的性质。他们注意各种联系。例如，在任意等腰三角形中两个底角相等。并且他们能够相信他们讨论的其他结论。或，他们可以使用三角形的性质发现和证明关于四边形的猜想，例如"任意四边形的内角和是多少?""它总是相等吗?"在9-12 水平学生能够看到用算式和符号证明公式(a+b+c)²和用图表证明公式(a+b+c)²，如图3-6所示( 摘自Gelfand和 Shan，1983。P。38 )，其目的是使学生提出问题和寻求猜想的习惯

图3-6

◆ 提出和考察数学猜想；

　　一些数学猜想由于他们简明的形式和将来对数学家提出的挑战而变得著名。一个众所周知的问题是歌德巴赫猜想。

　　歌德巴赫猜想定义任何大于4的整数都可以写成两个素数之和(这两个数没有必要不同)。例如，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。对于这个猜想，已经试验并发现对于10¹² 这样大的数 ，其结论是正确的，但对于一般的数，它是否成立还没有被证明？

　　这样的猜想是如此有趣以致常常以提出这些猜想的人的名字来命名，并载入数学史册。数学家们已经花了无数时间证明或反驳它们。常常没有比这些更好奇的东西来激发他们去探索，就是这点使得探索数学问题产生新的发现，这就是猜想，发现的主要途径就是形成猜想，教师和数学研究者都认为学生从小学开始就应该学会去作出，改进和尝试猜想。例如，小学三年级的一节课包括学生们讨论他们自己找到的有关偶数和奇数相加的模型。学生们猜想两个偶数之和仍为偶数，两个奇数之和也为偶数。他们发现了奇数和偶数的表示法，如下面奇数9的表示法:

　　像这样的记号表示法清楚地表明，数9的单位与一个附加单位的结合，产生一个偶数。类似地，Lampert(1990)分析5年级的一节课，在那里学生的任务是不做乘法而指出54，64 和74 的最后的一个数字是什么。在思考相同的例子后Yackel(1998)指出:这种分析表明，在这节课中，学生能够灵活地运用归纳和演绎的方法，在这节课的结尾，每一个学生既能作出一个模型，又能对这一模型进一步作出证明，或对另一个学生作出的模型进行解释，这足以证明小学生能够并愿意理解数学推理( 8)

　　在各种水平，数学的所有分支都能够提供进行推理和猜想的机会。常常，一个简单的变化而确定的任务就能提供这种机会。例如，说"当一个数集中的所有的数值都同时变成双数时，看这个新数集的平均数。教师可以换成如下的问题"如果一个样本的所有值都乘以2，变什么，为什么变，样本的平均值有变化吗？为什么?

　　适当地使用技术设备也能开展有力的结构性探索。计算机和计算器现在能很容易地进行一些探索，而这曾经在时间上和效果上是很费劲的。活动的几何课程，例如，允许学生探索变换或检验大量的数据(以前只能允许几个数)。画曲线的程序允许学生探索参数值的变化。在现存的不同的以计算机为基础的微积分课程里。学生们能对更广泛的现象进行探索。例如极限和收敛(在结论被正式给出前)

◆ 发展和评价数学争论与证明；

　　在4-7章，对于每一个年级中有关推理和证明的内容都提供了适合该年级水平的例子，在2年级以前，孩子们能用具体的模型证明他们的推论。例如，一个孩子能通过数块的方式告诉老师结果，而在这以前，他并不知道两个数是怎样相加的。在3-5 年级，学生们能通过观察作出数学预测并开始对他们的预测提出数学猜想，例如，一个4年级学生能够说明一个特殊的三角形和一个矩形有相同的面积。因为该三角形是由矩形分成两个相等的三角形拼成的，在6-8年级，学生们应该能够理解并解释更复杂的模型。堆积数的情况在第6章将描述，在9-12年级学生们被期望构造相对复杂的推理。

　　Hanna(1998)讨论有关证明的研究，并形成"Moore"指出，高中以前的学生作出正式证明有困难，因为开始有书写证明过程的较高水平的数学课程仅出现在高中几何中并且没有一般的证明思路和证明方法"(Moore 1994 )，在很多领域问"为什么"是提供推理和证明的机会并且是在整个课程中应该不断重现的主题。

　　学会数学推理的重要内容是学会评价数学论据，学生们学会提出假设并能够确定推理过程是否正确是很重要的。有时学生作出不合适的归纳，例如"乘法产生更大的数"，有时推理错误可能是微妙的。如句子"能同时被6整除和被4整除的数一定能被24整除"，或学生不能辨析他们讨论的问题。对学生在推理和证明的过程中所出现大多数错误进行归纳或告诫学生注意这些错误并没有效果。虽然有些错误，例如展开（a+b）2得到a2+ b2 ，发生的频率之高是告诫学生使之不重犯。在任何情况下，学生之间进行的似合理但有缺陷的论据往往创造出讨论的机会。

　　在教室里应鼓励学生提出他们的想法，鼓励每一个学生提出他们对其他学生的想法的评价，并且提供丰富的机会以便学生发展和评价数学争论，选择和使用合理的推理形式和证明方法。

◆ 选择和使用各种适当的推理形式和证明方法

　　有许多种逻辑推理方法，在数学的各个分支中，提供了许多传统的证明方法，在那里，例如，叙述论据或在几何中两列证明法或在逻辑中的真值表。在不同的论据中，分类是主要的方法(例如，这是一个X ，因为他有所有X 集的特征)。有许多不同的代数和几何的推理形式，比例推理，概率推理，几何推理等。有许多种论证的形式，包括对所有情况的分析法证明，举出反例的反驳法，应用一般结论到特殊情况的证明方法等。在整个过程中，随着学生水平的提高，学生们必须碰到并熟悉这些方法。

　　数学推理的一个主要目标是使学生的推理能力得到发展，并且在他们的数学学习过程中，在合适的地方，获得构造证明方法的工具，应鼓励学生们仔细地思考，理解并能够解释，随着学生对论证的方法越来越熟悉，用数学语言来表达的能力也越来越得到提高。

　　对于学校里各个年龄层次的学生，都应该给予他们提高和辩护他们自己的一系列推理的机会。在低年级，他们的争论可以是非正规的和简短的推理。以后，推理和证明将慢慢变得正规和复杂。