教学目标

　　1.使学生了解无理数及实数的意义，并会对实数进行分类；

　　2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数的绝对值；

　　3.通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果，对学生进行爱国主义教育.

教学重点和难点

　　重点：无理数及实数的概念.

　　难点：对无理数的意义的理解及无理数的绝对值的求法.

教学过程设计

　　一、复习

　　问：有理数都包括哪些数?怎样进行分类?

　　答：如果按整数和分数为标准，分类为

　　有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 有限小数或无限循环小数

　　如果按正数和负数为标准，分类为

　　　　　有理数 正有理数 正整数 正分数 零 负有理数 负整数 负分数

　　从算术中的数扩充到有理数之后，扩大了数学的应用范围，能够解决更多的问题.例如

，在算术中，减法不能完全进行，甚至连一个最简单的一元一次方程，如x+1=0也不能解.在有理数范围内减法可以通行无阻了，任何一个一元一次方程都可以解.这是因为引入了负数.

　　我们在小学学过的圆周率π，它不是有理数π≈3.141 592 6…是一个无限不循环小数.

　　这节课我们就要讨论把有理数再继续扩充的问题.

　　二、新课

　　1.实数

　　3 2≈1.259 921 0…，3≈1.732 050 8…，－7≈－2.645 751 3…，π≈3.141 592 6…

　　这些数都是无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫做无理数.

　　无理数可分为正无理数和负无理数.如32，π，3是正无理数；－2，－π，－3 3是负无理数。

　　有理数和无理数统称为实数.

　　实数有如下的分类方法：

　　如果按有理数和无理数分类，则有

　　实数 有理数 正有理数 零 负有理数 有限小数或无限循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数

　　由于有理数和无理数都有正负之分，如果按正负概念为标准，实数又可分类为

　　　　　　　实数 正实数 正有理数 正无理数 零 负实数 负有理数 负无理数

　　这里应当注意：

　　(1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数).

　　(2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数.

　　(3)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来

表示；而无限不循环小数不能化为分数，它是无理数.

　　从有理数扩充到实数之后，又进一步扩大了数学应用的范围，能够解决更多的问题.例如，在有理数范围内不都能进行开方运算.又如，多项式的因式分解也有局限性，对于x2－5就不能继续分解因式.但在实数范围内，上述问题都可以解决.

　　例1 下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?

　　－0.313 131…，π2，－81 ，23， －3 27， 3.14， 7， 0.4829， 1.020            020   002…，

－3 9， －3 －0.5.

　　答案：

　　有理数有－0.313 131…，－81，23， － 327， －0.4829，3.14.

　　无理数有π2，7，1.020 020  002…，－3 9，－3 －0.5。

　　正实数有π2，23 ，3.14， 7. 0.4829，1.020 020 0.02…，－3 －0.5.

　　注意：－3 －0.5=3 0.5是正实数；－81=－9及－3 27=－3是有理数.

　　指出：判断一个数是有理数还是无理数，应从它们的定义去辨别，不能从形式上去分辨，如带根号的数不一定是无理数，像上面的－81，－3 27就是有理数.

　　例2 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.

　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)

　　(2)无理都是无限小数.(　　)

　　(3)无限小数都是无理数.(　　)

　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)

　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)

　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)

　　(7)有理数都是有限小数.(　　)

　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)

　　答案：

　　(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.

　　(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.

　　(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.

　　(4)(×)0是有理数.

　　(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.

　　(6)(×)如81，虽然带根号，但81=9，这是有理数.

　　(7)(×)有理数还包括无限循环小数.

　　(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.

　　2.实数的相反数.

　　我们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为相反数，便如3与－3，38与－38等.实数的相反数的意义和有理数一样.

　　如果a表示一个正实数，－a就表示一个负实数，a与－a互为相反数，0的相反数仍是0.如2的相反数是－2；－5的相反数是5；π的相反数是－π.

　　问：3－2的相反数是什么?3+2的相反数是什么?

　　答：可以把3－2及3+2分别看作一个整体，它们都是实数，因此3－2的相反数是－(3－2)=2－3；3+2的相反数是－3+2=－3－2.

　　3.实数的绝对值.

问：什么叫一个有理数a的绝对值?

答：｜a｜=a (a＞0) 0(a=0) －a(a<0).

　　和有理数的绝对值的意义相同，一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0.

如果a表示实数，那么

       ｜a｜ a(a＞0) 0(a=0)  -a(a＜0).

   由上面可知，｜a｜是一个非负数，即｜a｜≥0.如｜2｜=2，｜－3｜=3.

　　例3 求下列各数的相反数及绝对值：

　　(1)3 －64；　　(2)3－π.

　　分析：

　　(1)题根据3－a=－3a(a＞0)，求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数.

　　(2)题中先判断3与π的大小，再求3－π的绝对值.

　　解 (1)因为3－64=－3 64=－4，所以3 －64的相反数是4，｜3 －64｜=4.

　　　　(2)3－π的相反数是－(3－π)=π－3.

　　因为π＞3所以3－π＜0，因此｜3－π｜－(3－π)=－3+π=π－3.

　  例4 已知一个数的绝对值是3，求这个数.

　　解：设这个数为a，根据题意，有｜a｜=3.

　　因为｜3｜=3，｜－3｜=3，所以a=±3，即绝对值是3的数为±3.

　　例5 求下列各式中的实数x

　　(1)｜x｜=3 64 125；　　(2)｜x｜=｜－π｜；　　(3)求满足｜x｜＜421的整式x.

　　分析：根据实数的绝对值的意义求x.

　　解(1)3 64 125=45.

　　这是因为｜45｜=45,｜－45｜=45,所以绝对值为3 64 125的数为±45.

　　(2)｜π｜=｜－π｜=π.

　　因为｜π｜=π，｜－π｜=π.所以绝对值等于｜－π｜的数是±π.

　　(3)因为｜x｜＜421的整数x的几何意义是，在数轴上到原点的距离小于412的点所表示的所在整数，如图可以用数轴上的点表示已知条件｜x｜<412，所以满足｜x｜＜412的整数x为－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

   缺图

　　二课常练习

　　1.下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是实数?(口答)

　　　　　　－3.14，π，3 2，－0.3 58 ，16 81 ，1.732…

　　2.求下列各实数的相反数及绝对值：

　　3－7；　(－2)2　　1－π；5；－2－3；a－a(a<b)；a－1(a＜1).

　　3.x为何值时，下列各式成立：

　　(1))｜x｜x=1;　　(2)｜x｜－x=1;　　(3)2x｜x｜=－2;　　(4)｜x｜+x=0.

　　四、小结

　　1.判断一个数是不是无理数，一定要依据无理数是无限不循环小数这一本质属性去判断，开方开不尽的数，如2，5等都是无理数.但无理数不包括这类数，如π是无理数，而它不是由开方得到的.

　　2.有理数和无理数统称为实数.实数的相反数及绝对值的意义与有理数完全相同，任何

实数的绝对值都是一个非负数，若a表示实数，则｜a｜≥0.

　　3.对实数进行分类，要先选定分类的标准，不同的分类标准就有不同的分类方法，分类后要注意所有的数不能重复和遣漏.

　　五、作业

　　1.下列各数，哪些是有理数?哪些是无理数?哪些是实数?

　　－3， －3 8， 1.732， 0. 2π，0.13，3 5，－2.734 78…，227.

　　2.判断正误，并说明理由.

　　(1)在理数是实数；(　　)　　　　(2)实数是无理数；(　　　)

　　(3)无限小数都是无理数；(　　)  (4)带根号的数都是无理数；(　　)

　　(5)0是实数；(　　)　　　　　　　(6)0是无理数；(　　)

　　(7)0是有理数；(　　)　　　　　　(8)无理数都是开方开不尽的数.(　　)

　　3.求下列各数的相反数和绝对值：

　　(1)2.5；　　(2)－7；　　(3)－π5； 　　(4)0；　　(5)3－2；　　(6)π－3.

　　4.求下列各式中的实数x；

　　(1)｜x｜=23;　　(2)｜x｜=0;　　(3)｜x｜=10;　　(4)｜x｜=2π.

　　附 我国古代数学家关于π的研究.

　　圆的周长与直径的比值是一个常数π，它是一个无理数，我们可以用有理数来近似表示

它.

　　求无理数π的近似值，我国古代数学家早已作出了巨大的贡献，在东汉初年的数学书《

周髀算经》里已经载有“周三径一”，称之为“古率”，就是说，直径是1的圆，它的周长是3.

　　到了西汉末年，刘歆(约分元前50年到公元23年)定圆周率为3.1547，到了东汉时代，张衡(公元78－139年)求得两个比，一是92 29=3.17241…，另一个是10，约等于3.1622.(印度数学家罗笈多也曾定圆周率为10，但已迟于张衡500多年.)

　　到了三国时，魏人刘徽(公元263年)创立了求圆周率的准确值的原理，他用割圆术求得圆周率的前三位数字是π≈3.14…，称为徽率.

　　到南北朝时代的祖冲之(公元429年—500年)，他已推算出

　　　　　　　　　　3.1415926＜π＜3.1415927.

　　也就是π≈3.1415926…，他是世界上第一个确定圆周率准确到7位小数的人.祖冲之又提出了用两个分数表示π的近似值.即22 7及355 113，分别称为π的约率和密度.

　在祖冲之发现密率一千多年后，欧洲的安托尼兹(16世纪～17世纪)才重新发现了这个值.