说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、　　　　　　 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的

A、内心　　　 B、外心　　　　 C、重心　　　　 D、垂心

2、 在斜棱柱的侧面中，矩形最多有

A、2个　　　 B、3个　　　　　 C、4个　　　　　 D、6个

3、 一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长为 ，那么这个三棱锥的体积为

A、9　　　　 B、　　　　　　 C、7　　　　　　 D、

4、 棱台上底面积为2，中截面面积为4，则其下底面面积为

5、 若正棱台上、下底面与侧面积的比是4∶9∶10，则侧面与底面所成的角等于

A、30⁰　　　 B、45⁰ 　　　　　C、60⁰　　　　　 D、不确定

6、 圆台的高为12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则圆台体积为

　 　　　B、　　　 C、　　　 D、以上都不对

7、 圆锥轴截面顶角满足

　 　B、　 C、　 D、

8、 侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40⁰，过A作截面AEF，则截面三角形AEF的最小周长是

A、　　　　　 B、6　　　　　 C、4　　　　　 D、

9、 圆柱轴截面周长为定值，那么圆柱体积的最大值是

10、过球面上三点A、B、C的截面和球心距离等于球半径的一半，并且AB=BC=CA=2，则球面面积为

　 　　　　B、　　　　 C、　　　 D、

11、地球上有甲、乙两个城市，甲在北纬30⁰，东经83⁰，乙在北纬30⁰，西经97⁰，这两个城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的距离之比为

　 A、3∶2　　　 B、∶4　　　　 C、4∶　　　 D、2∶3

12、直角三角形的三边满足三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体体积记为，则

A、　 B、　 C、　 D、

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、　　　　　　 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13、圆柱的上底半径OA与下底半径垂直，若OA=1，AB与所成的角为30⁰，则AB的长为__________。

14、圆柱底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短线的长度是_____________。

15、圆台侧面展开图扇环的中心角为120⁰，上底半径为2，母线长为上、下两底半径之和，则圆台的全面积为_______________。

16、正三棱台上、下底面边长分别为1cm和2cm，侧面和底面成60⁰的二面角，则此棱台的侧面积为____________，体积为________________。

三、　　　　　　 解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、（本小题满分10分）已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面边长分别为，侧棱与底面成60⁰角。

（1）　　　 求棱台的侧面积；

（2）　　　 求侧面与底面所成角的正弦值。

　 18、（本小题满分12分） 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，∠C=90⁰，BC=2，B₁在底面的射影D为BC中点，侧棱与下底面所成角为60⁰，侧面A₁ABB₁与侧面B₁BCC₁所成的角为30⁰，求斜三棱柱的侧面积。

　 19、（本小题满分12分）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=在底面的射影为BC的中点M。

（1）　　　 求证：BC⊥平面A₁AM；

（2）　　　 如果平面A₁ABB₁与平面ABC所成的二面角为60⁰，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积。

20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已　　　　　　　　　　　　　　 知底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BCD=90⁰，侧面

PBC⊥底面ABCD，PD=AD=5，AB=2，CD=1，PA=3。

（1）　　　 求侧面PAD与侧面PBC所成角的正弦；

（2）　　　 求四棱锥P-ABCD的体积。

21、(本小题满分14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，　　　　　　　　　　　　　 底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=M、N分别是AB和PC的中点。

（1）　　　 求证：MN是异面直线AB和PC的公垂线；

（2）　　　 求异面直线AB和PC的距离；

（3）　　　 求二面角B-PC-D的大小。

22、(本小题满分14分)如图，圆柱的轴截面ABCD是正　　　　　　　　　　　　 方 形，点E在底面圆周上，AF⊥DE，F是垂足。

（1）　　　 求证：AF⊥DB；

（2）　　　 如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。